Aplicación de la derivada trazado de curvas

Aplicación de la derivada trazado de curvas

En este tema explicaremos como utilizar la aplicación de la derivada para trazar curvas de funciones. Para ello encontraremos los intervalos donde crece y decrece una función, los máximos y mínimos, la concavidad y los puntos de inflexión de una función. Estos temas ya los hemos explicado por separado. Sin embargo, en esta sección se explican ejercicios donde analizamos todo esto y, además, se explica cómo graficar la función teniendo en cuenta tales datos. Enseguida se menciona como encontrar estos datos:

Intervalos donde crece y decrece una función

Se dice que una función f(x) es creciente (estrictamente creciente) si `x_{1}` y `x_{2}` son dos puntos cualesquiera de su dominio tales que si `x_{1}<x_{2}`, entonces `f(x_{1})≤f(x_{2})`  `(f(x_{1})<f(x_{2}))`.

Y se dice que una función f(x) es decreciente (estrictamente decreciente) si `x_{1}` y `x_{2}` son dos puntos cualesquiera de su dominio tales que si `x_{1}<x_{2}` entonces `f(x_{1})≥f(x_{2})`  `(f(x_{1})>f(x_{2}))`.

El comportamiento de crecimiento de una función y su derivada están relacionados:

  1. Una función es creciente en el intervalo (a, b), si f'(x)>0 para toda x en(a,b).
  2. Una función es decreciente en el intervalo (a, b), f'(x)<0
  3. Si f'(x)=0 para toda x en (a,b), entonces f(x) es constante.

Máximos y mínimos de una función con el criterio de la primera derivada

Definición:

  1. Se dice que una función f(x) tiene un máximo local en x=`x_{0}`, si f(x)≤f(`x_{0}`) para toda x en un intervalo (a,b), tal que `x_{0}` pertenezca a dicho intervalo.
  2. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local en x=`x_{0}`, si f(x)≥f(`x_{0}`) para toda x en un intervalo (a,b). tal que `x_{0}` pertenezca a dicho intervalo.

 El criterio de la primera derivada para máximos y mínimos: 

  1. Dada f(x) con f’(`x_{0}`)=0; si f’(x) > 0, para toda x en (a,`x_{0}`) y si f’(x)< 0, para toda x en (`x_{0}`,b) (es decir, la derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces el punto (`x_{0}`,f(`x_{0}`)) representa un punto máximo local. 
  1. Dada f(x) con f’(`x_{0}`)=0, si f’(x) < 0, para toda x en (a,`x_{0}`) y si f’(x) > 0, para toda x en (`x_{0}`,b) (es decir, la derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces el punto (`x_{0}`,f(`x_{0}`)) representa un punto mínimo local.
  1. Si f(x) tiene el mismo signo para toda x en (a,b), entonces f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local.

Para aplicar este criterio se recomienda seguir los siguientes pasos:

Paso 1. Calcular la derivada de f(x).

Paso 2. Igualar f’(x) a cero para encontrar los valores críticos.

Paso 3. Elegir un número menor y un número mayor a cada valor crítico, estos puntos tienen que ser cercanos a los valores críticos.

Paso 4. Evaluar f’(x) en los puntos elegidos.

Paso 5. Aplicar el criterio de la primera derivada.

Paso 6. Encontrar las coordenadas de los máximos y mínimos (si los hay).

Concavidad de una función

Definición:

  1. La función f(x) es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva.
  1. La función f(x) es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están por arriba de la curva. 

El criterio de concavidad:

  1. Si f’’(x)>0 para todo x en un intervalo (a,b), entonces f(x) es cóncava hacia arriaba en tal intervalo.
  1. Si f’’(x)<0 para todo x en un intervalo (a,b), entonces f(x) es cóncava hacia abajo en tal intervalo. 

Puntos de inflexión de una función

Definición:

Sea f una función continua en un intervalo abierto y se `x_{0}` un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en el punto `(x_{0},f(x_{0}))`, entonces este punto es un punto de inflexión de f si la concavidad de f en ese punto cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Para localizar los posibles puntos de inflexión, se pueden determinar los valores de x para los cuales ƒ’’(x)=0 o ƒ’’(x) no existe. Esto es similar al procedimiento para localizar los extremos relativos de ƒ(x). 

El criterio de puntos de inflexión:

  • Si f’’(x) cambia de signo al pasar por una de sus raíces, entonces tenemos un punto de inflexión.

Para aplicar este criterio se recomienda seguir los siguientes pasos:

Paso 1. Calcular la segunda derivada de f(x).

Paso 2. Igualar f’’(x) a cero para encontrar sus raíces (que serán candidatos a ser puntos de inflexión).

Paso 3. Elegir un número menor y un número mayor a cada raíz de f’’(x), estos puntos tienen que estar cercanos a las raíces.

Paso 4. Evaluar f’’(x) en los puntos elegidos.

Paso 5. Aplicar el criterio de puntos de inflexión.

Paso 6. Encontrar las coordenadas de los puntos de inflexión (si los hay).

En esta sección contamos con 3 videos, en cada uno de ellos explicamos un ejercicio de manera detallada.

Lista de videos Aplicación de la derivada trazado de curvas

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Solución del Mini-Examen Aplicación de la derivada trazado de curvas.

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