Ecuaciones diferenciales ordinarias (separación de variables con valor inicial)

Ecuaciones diferenciales ordinarias (separación de variables con valor inicial)

Existe más de un método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, dependiendo de la ecuación. En esta sección nos enfocaremos en explicar como resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (por separación de variables con valor inicial).

Las ecuaciones que contienen derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independiente son llamadas ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (E. D. O.) son ecuaciones diferenciales que contienen sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente. Por ejemplo

`frac{dy}{dx}=y+4`    y    `frac{d^2y}{dx^2}-y=0`

son ecuaciones diferenciales ordinarias.

El orden de una ecuación diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo

`frac{dy}{dx}=y+4`  es de primer orden.

`frac{d^2y}{dx^2}-y=0`  es de segundo orden.

Las ecuaciones diferenciales tienen aplicaciones en geometría, ingeniería, economía, biología y muchos otros campos de las ciencias aplicadas.

Las ecuaciones diferenciales se utilizan para describir algún proceso físico mediante un modelo matemático.

Como ya se había mencionado, se explicará el método de separación de variable con valor inicial. El tipo de ecuaciones que se resolverán tienen la forma general siguiente:

`frac{dy}{dx}=f(x,y)`

Si hacemos `M(x,y)=-f(x,y)` y `N(x,y)=1`. Entonces se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera

`M(x,y)+ N(x,y) frac{dy}{dx}=0`.

Y se dice que esta ecuación diferencial es separable si se puede reescribir como

`M(x)dx+ N(y) dy=0`.

Ya que es posible que los términos que incluyen cada variable se pueden separar por el signo de igualdad. Y la solución se puede encontrar integrando en ambos lados de la igualdad.

Para el problema de valores iniciales, en algún intervalo que contenga a `x_{0}`, el problema:

`frac{dx}{dy}=f(x,y,y’,…,y^{n-1})`   sujeto a `y(x_{0})=y_{0},` `y(x_{0})=y_{1}`, … `y^(n-1)(x_{0})=y_{n-1}`.

donde ` y_{0},` `y_{1}`,…,`y_{n-1}` son constantes reales dadas, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en el punto `x_{0}:` `y(x_{0})=y_{0},` `y(x_{0})=y_{1}`, … `y^(n-1)(x_{0})=y_{n-1}` se llaman condiciones iniciales.

En esta sección, en particular, se explicará como resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (por separación de variables con valor inicial), problemas de valores iniciales de primer orden. Es decir, tendremos el problema siguiente:

`frac{dx}{dy}=f(x,y)`  sujeto a  `y(x_{0})=y_{0}`

Se explica, la manera de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (por separación de variables con valor inicial), mediante algunos ejemplos que se resuelven en los 3 videos con los que contamos en esta sección. En cada uno explicamos un ejercicio de manera detallada. Los ejercicios que se resuelven son los siguientes:

Queridos estudiantes, si tienen alguna duda con respecto a algún ejercicio, pueden escribirnos a nuestras redes sociales o vía email y les responderemos con gusto.

En los videos:

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (separación de variables con valor inicial):

  1.  `y’+2y=1;`  `y(0)=frac{5}{2}`.
  2.  `x^2y’+xy=y;`  `y(-1)=-1`.
  3.  `sqrt{1-y^2}dx-sqrt{1-x^2}dy=0;`   `y(0)=frac{1}{sqrt{2}}`.

En el mini-examen:

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (separación de variables con valor inicial):

  1.  `dx-x^2dy=0;`  `y(-1)=3`.
  2.  `2y’+y=0;`  `y(0)=2`.
  3.  `7dx+e^(7x)dy=0;`  `y(0)=2`.
  4.  `xfrac{dy}{dx}=2y;`  `y(1)=3`.
  5.  `frac{dy}{dx}=2xe^{-y};`  `y(1)=0`.

Lista de videos Ecuaciones logarítmicas con diferentes bases

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Resuelve los siguientes 5 ejercicios del Mini-Examen de Ecuaciones diferenciales ordinarias (separación de variables con valor inicial)

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Solución del Mini-Examen Ecuaciones diferenciales ordinarias (separación de variables con valor inicial)

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