Integrales por cambio de variable o sustitución

Integrales por cambio de variable o sustitución

En este tema vamos a ver cómo calcular integrales por cambio de variable o sustitución.

La idea central en este método de integración es elegir de una manera apropiada el cambio de variable que se tiene que hacer para reducir la integral original en una que sea inmediata o más sencilla de resolver. Para ello se tiene que elegir `u` (el cambio de variable) y calcular `du=frac{du}{dx} dx` para escribir la variable original `x` y `dx` en términos de la nueva variable `u` y `du`. Finalmente, ya que se halla calculado la integral, se regresa a la variable original, es decir, se escribe el resultado en términos de  la variable (letra o literal) `x`.

Nota: aquí denotamos el cambio de variable por la letra `u`, pero uno es libre de elegir cualquier letra para denotar esto.

Las relaciones de integración que vamos a usar son las siguientes:

  • `int k dx=k int dx`, en donde `k` es una constante.
  • `int (f(x)+g(x))dx=int f(x)dx+int g(x)dx` con `f(x)` y `g(x)` funciones de la variable `x`.
  • `int dx=x+C`
  • `int x^n dx=frac{ x^{n+1}}{n+1} + C` para `n` distinto de `-1`.
  • `int frac{dx}{x}=ln |x|+C`, en donde `|x|` es el valor absoluto de la variable `x`.
  • `int sin x dx=-cos x+C`

En donde `C` es una constante (también se le llama constante de integración).

En esta sección contamos con 6 videos de integrales por cambio de variable o sustitución, en los cuales se resuelven varios de los ejercicios comunes de este tema. Los ejercicios que se resuelven son los siguientes:

Queridos estudiantes, si tienen alguna duda con respecto a algún ejercicio, pueden escribirnos a nuestras redes sociales o vía email y nuestro equipo Vitual les responderá con gusto.

En los videos

Calcular las Integrales por cambio de variable o sustitución:

`int frac{dx}{(5x+2)^3}`    ;    `int sin 5x dx`    ;    `int frac{x+1}{sqrt{x^2+2x+3}}dx`    ;    `int frac{5x+2}{sqrt{x^2+2x+5}}dx`    ;    `int frac{3-4x}{sqrt{3x-x^2-2}}dx`    ;    `int frac{x^2-x-2}{x^2-3x-4}dx`

En el mini-examen

Calcular las Integrales por cambio de variable o sustitución:

`int frac{dx}{(10x-1)^5}`    ;    `int 3x^2(x^3+4)^{15}dx`    ;    `int frac{x+2}{sqrt{7-6x-x^2}}dx`    ;    `int frac{4x+1}{(4x^2+2x)^4}dx`    ;    `int (4x+6) ⁶sqrt{x^2+3x-10}dx`

Lista de videos Integrales por cambio de variable o sustitución

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Resuelve los siguientes 5 ejercicios del Mini-Examen de Integrales por cambio de variable o sustitución.

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Solución del Mini-Examen Integrales por cambio de variable o sustitución

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