Máximos y mínimos de una función con el criterio de la primera derivada

Máximos y mínimos de una función con el criterio de la primera derivada

En este tema vamos a explicar cómo encontrar máximos y mínimos de una función usando el criterio de la primera derivada.

Definición:

  1. Se dice que una función f(x) tiene un máximo local en `x=x_{0}`, si `f(x)<=f(x_{0})` para toda x en un intervalo (a,b).tal que `x_{0}` pertenezca a dicho intervalo.
  2. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local en `x=x_{0}`, si `f(x)>=f(x_{0})` para toda x en un intervalo (a,b). tal que `x_ {0}` pertenezca a dicho intervalo.

El criterio de la primera derivada para máximos y mínimos:

  1. Dada f(x) con `f’ (x_{0})=0`; si f’(x) > 0, para toda x en `(a,x_{0})` y si f’(x)< 0, para toda x en `(x_{0},b)` (es decir, la derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces el punto `(x_{0}, f (x_{0}))` representa un punto máximo local.
  2. Dada f(x) con `f’ (x_{0})=0`, `; si f’(x) < 0, para toda x en `(a,x_{0})` y si f’(x) > 0, para toda x en `(x_{0},b)` (es decir, la derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces el punto `(x_{0}, f (x_{0}))` representa un punto mínimo local.
  3. Si f(x) tiene el mismo signo para toda x en (a,b), entonces f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local.

Para aplicar este criterio se recomienda seguir los siguientes pasos:

Paso 1. Calcular la derivada de f(x).

Paso 2. Igualar f’(x) a cero para encontrar los valores críticos.

Paso 3. Elegir un número menor y un número mayor a cada valor crítico, estos puntos tienen que ser cercanos a los valores críticos.

Paso 4. Evaluar f’(x) en los puntos elegidos.

Paso 5. Aplicar el criterio de la primera derivada.

Paso 6. Encontrar las coordenadas de los máximos y mínimos (si los hay).

En esta sección contamos con 5 videos, en los cuales explicamos ejercicios de los casos más usuales que se presentan en este tema.

Lista de videos Máximos y mínimos de una función con el criterio de la primera derivada

¡Pon aprueba lo que haz aprendido!

Resuelve los siguientes 5 ejercicios del Mini-Examen de Máximos y mínimos de una función con el criterio de la primera derivada.

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Solución del Mini-Examen Máximos y mínimos de una función con el criterio de la primera derivada

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