Derivadas de funciones exponenciales del tipo e^v

Existen tres tipos de funciones exponenciales:

  1. \(\displaystyle f(x)=e^v\), donde \(\displaystyle v=v(x)\).
  2. \(\displaystyle f(x)=a^v\), donde \(\displaystyle v=v(x)\) y \(a \) es una constante.
  3. \(\displaystyle f(x)=u^v\), donde \(\displaystyle u=u(x)\) y \(v=v(x)\)..

En esta sección veremos el primer caso: \(f(x)=e^v\). En el cual tendremos en cuenta que:

\(\displaystyle f'(x)=e^v \cdot \frac{d}{dx}v\)

Ejemplo 1: Calcular la derivada de \(\displaystyle f(x)=e^{2x^2-x+1}\).
Solución: Si observamos la función tenemos que \(\displaystyle v=2x^2-x+1\). Entonces:

\(\displaystyle f'(x)=e^{2x^2-x+1} \frac{d}{dx}(2x^2-x+1) \)

\(\displaystyle f'(x)=e^{2x^2-x+1} \left(\frac{d}{dx}2x^2- \frac{d}{dx}x+ \frac{d}{dx}1 \right)\)

\(\displaystyle f'(x)=e^{2x^2-x+1}(4x-1+0) \)

\(\displaystyle f'(x)=e^{2x^2-x+1}(4x-1) \)

\(\displaystyle f'(x)=(4x-1)e^{2x^2-x+1}\)

Ejemplo 2: Calcular la derivada de \(\displaystyle y=\sqrt{e^{x^3}+1}\).

Solución: Primero pasamos la raíz a exponente fraccionario. Entonces:

\(\displaystyle y=\sqrt{e^{x^3}+1}=(e^{x^3}+1)^{\frac{1}{2}}\)

Ahora, aplicamos primero la derivada de una potencia:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}v^n=nv^{n-1}\cdot \frac{d}{dx}v\)

donde \(v=v(x)\)

Si observamos la función tenemos que \(v=(e^{x^3}+1)\). Entonces:

\(\displaystyle y’=\frac{1}{2}(e^{x^3}+1)^{-\frac{1}{2}}~\frac{d}{dx}(e^{x^3}+1)\)

\(\displaystyle y’=\frac{1}{2(e^{x^3}+1)^{\frac{1}{2}}}~\left(\frac{d}{dx}e^{x^3}+\frac{d}{dx}1 \right)\)

Ahora, para calcular la derivada de \(e^{x^3}\) utilizamos la fórmula:

\(\displaystyle y’=e^v \cdot \frac{d}{dx}v\)

con \(\displaystyle v=x^3 \)

\(\displaystyle y’= \frac{1}{2(e^{x^3}+1)^{\frac{1}{2}}} \left( e^{x^3}\frac{d}{dx}x^3+0 \right)\)

\(\displaystyle y’= \frac{1}{2 \sqrt{e^{x^3}+1}} \left( e^{x^3}3x^2 \right)\)

\(\displaystyle y’= \frac{3x^2e^{x^3}}{2 \sqrt{e^{x^3}+1}}\)

 

Descargar formulario

Lista de videos Ley de senos y cosenos

¡Pon aprueba lo que haz aprendido!

Resuelve los siguientes 5 ejercicios del Mini-Examen de derivadas de funciones exponenciales del tipo e^v

Solución del Mini-Examen derivadas de funciones exponenciales del tipo e^v

No olvides compartir esta página con tus amigos y familiares

Visita nuestro canal de Youtube