Resolución de triángulos oblicuángulos

Ley de senos

\(\displaystyle \frac{a}{sen~A}=\frac{b}{sen ~B}=\frac{c}{sen~C} \)

o también: \(\displaystyle \frac{sen~A}{a}=\frac{sen~B}{b}=\frac{sen~C}{c} \)

 

La ley de senos se utiliza cuando se conocen:

  • 2 ángulos y cualquier lado.
  • 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

 

Ejemplo 1 (conociendo 2 ángulos y cualquier lado). En el siguiente triángulo se tienen los datos: \(\displaystyle \angle C=48.2°,~\angle B=62°,~a=18.2\). Calcular los elementos restantes.

Sabemos que \(\angle A + \angle B + \angle C=180° \)
\(\angle A =180° – \angle B – \angle C \)
\(\angle A =180° – 62° – 48.2° \)
\(\angle A =69.8° \)
Ahora de la relación: \(\displaystyle \frac{a}{sen A}=\frac{b}{sen B}=\frac{c}{sen C} \)

tomamos: \(\displaystyle \frac{a}{sen A}=\frac{b}{sen B} \)
sustituímos:

\(\displaystyle \frac{18.2}{sen~ 69.8°}=\frac{b}{sen~ 62°} \)

\(\displaystyle b=\frac{(18.2)(sen ~62°)}{sen~ 69.8°} \)

\(\displaystyle b=17.1228 \)

Ahora usamos: \(\displaystyle \frac{a}{sen A}=\frac{c}{sen C} \)

\(\displaystyle \frac{18.2}{sen ~69.8°}=\frac{c}{sen ~48.2°} \)

\(\displaystyle c=\frac{(18.2)(sen ~48.2°)}{sen~ 69.8°} \)

\(\displaystyle c=14.4568 \)

Ejemplo 2 (conociendo 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos). En el siguiente triángulo se tienen los datos: \(\displaystyle \angle A=32°,~a=5,~b=8\). Calcular los elementos restantes.

De la relación: \(\displaystyle \frac{a}{sen A}=\frac{b}{sen B}=\frac{c}{sen C} \)

tomamos: \(\displaystyle \frac{a}{sen A}=\frac{b}{sen B} \)

sustituímos:

\(\displaystyle \frac{5}{sen ~32°}=\frac{8}{sen B} \)

\(\displaystyle sen B =\frac{8 sen~ 32°}{5} \)

\(\displaystyle B=57.9808° \)

Sabemos que: \(\displaystyle \angle A + \angle B + \angle C =180° \)

Sabemos que: \(\displaystyle \angle C =180°-\angle A – \angle B \)

Sabemos que: \(\displaystyle \angle C =180°-32° – 57.9808° \)

\(\displaystyle \angle C = 90.0192° \)

Ahora: \(\displaystyle \frac{a}{sen A}=\frac{c}{sen C} \)

sustituímos:

\(\displaystyle \frac{5}{sen~ 32°}=\frac{c}{sen~ 90.0192°} \)

\(\displaystyle c=\frac{(5)(sen~ 90.0192°)}{sen~ 32°}\)

\(\displaystyle c=9.4353\)

Ley de cosenos

\(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc~ cos A \)
\(\displaystyle b^2=a^2+c^2-2ac ~cos B \)
\(\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab ~cos C \)

 

La ley de cosenos se utiliza cuando se conocen:

  • 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.
  • 3 lados.

 

Ejemplo 1 (conociendo 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos). En el siguiente triángulo se tienen los datos: \(\displaystyle \angle B=62°,~a=1.5,~c=8\). Calcular los elementos restantes.

De la relación: \(\displaystyle b^2=a^2+c^2-2ac~cos B \)
\(\displaystyle b^2=(1.5)^2+8^2-2(1.5)(8)cos ~62° \)
\(\displaystyle b=7.4150 \)
Ahora, de la fórmula: \(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc ~cosA \)
\(\displaystyle cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \)
Entonces tenemos:

\(\displaystyle cos A=\frac{(7.4150)^2+8^2-(1.5)^2}{2(7.4150)(8)} \)

\(\displaystyle A=10.2889° \)
Por último: \(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180° \)
\(\displaystyle \angle C=180°-\angle A-\angle B \)
\(\displaystyle \angle C=180°-10.2889°-62° \)
\(\displaystyle \angle C =107.7111° \)

Ejemplo 2 (conociendo 3 lados). En el siguiente triángulo se tienen los datos: \(\displaystyle a=45.3,~b=48.5,~c=51.7\). Calcular los elementos restantes.

Para el ángulo A:

\(\displaystyle cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \)

\(\displaystyle cosA=\frac{(48.5)^2+(51.7)^2-(45.3)^2}{2(48.5)(51.7)} \)

\(\displaystyle A=53.6409° \)

Para el ángulo B:

\(\displaystyle cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \)

\(\displaystyle cos B=\frac{(45.3)^2+(51.7)^2-(48.5)^2}{2(45.3)(51.7)} \)

\(\displaystyle B=59.5651° \)

Para el ángulo C:
\(\displaystyle \angle A +\angle B+\angle C=180° \)
\(\displaystyle \angle C=180°-\angle A-\angle B \)
\(\displaystyle \angle C=180°-53.6409°-59.5651° \)
\(\displaystyle \angle C=66.794° \)

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